Rasjonal funksjon

Rasjonal funksjon

Områder i algebra

Abstrakt algebra

Grupper Ringer Kropper

Algebraisk geometri

Elementær algebra

Ligninger Funksjoner

Kombinatorikk

Lineær algebra

Vektorrom Matriser

Tallære

Rasjonal funksjon er i matematikken, en funksjon som kan skrives som et forhold mellom to polynomfunksjoner.

En funksjon med en variabel, x, kan defineres ved denne formen:

$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$

hvor P og Q er polynom-funksjoner i x, og Q ikke er en nullfunksjon(f(x) = 0 ). Definisjonsmengden av f er mengden av alle punktene x hvor nevneren Q(x) ikke er null.

Hvis x ikke er en variabel, men ubestemt, snakker en om rasjonale uttrykk i stedet for rasjonale funksjoner. Forskjellen mellom disse to begrepene er kun viktig i abstrakt algebra.

En rasjonal ligning er en ligning med to rasjonelle uttrykk som er satt lik hverandre. Disse uttrykkene adlyder de samme reglene som en brøk. Ligningene kan bli løst med kryss-multiplisering. Deling med 0 er udefinert, så en løsning som forårsaker formell divisjon på null vil bli forkastet.

Bruken av ordet "rasjonal" her har sammenheng med "ratio", et forhold mellom to størrelser, altså en brøk, tilsvarende at rasjonale tall er tall som kan skrives som en brøk.

Eksempler

Rasjonal funksjon av 3.grad :
y = (x^3-2x)/(2(x^2-5))

Den rasjonale funksjonen $f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$ (se bildet til høyre) er ikke definert på $x^{2}=5\leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}$.

Den rasjonale funksjonen $f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}$ er definert for alle reelle tall, men ikke for alle komplekse tall, siden hvis x hadde vært pluss eller minus kvadratroten til minus 1, ville formell evaluering føre til divisjon på null.

Grenseverdien for den rasjonale funksjonen $f(x)={\frac {x^{2}-2x}{2(x^{2}-5)}}$ etterhvert som x nærmer seg uendelig er ${\frac {1}{2}}$.

En konstant funksjon som f(x) = π er en rasjonal funksjon siden konstanter er polynomer. Selv om f(x) er irrasjonal for alle x, merk at det er funksjonen som er rasjonal, ikke nødvendigvis verdiene av funksjonen.