Diskusjon:Konstruksjon (geometri)

Utvidelse

Jeg har lagt til mer utfyllende forklaringer og flyttet figurer litt omkring der de nå hører hjemme. Den opprinnelige delen med de tre uløselige konstruksjonene, har jeg redusert i omfang da det nå er skrevet mer detaljerte sider om hver av dem slik at de kan lenkes inn her. Phidus (diskusjon) 1. okt. 2015 kl. 21:32 (CEST)

Euklidsk konstruksjon

Redigering av denne siden ga meg litt hodebry: Tittelen sier at den skal handle om geometriske konstruksjoner generelt. Ingressen begrenset innholdet til euklidske konstruksjoner. Sideinnholdet ellers inneholdt mye stoff om konstruksjoner som ikke lar seg gjennomføre med kun passer og linjal. Avsnitt om løsning av andregradsligninger kan også sies å sprenge rammene for euklidske konstruksjoner. Jeg har valgt å la siden fokusere på euklidske konstruksjoner, med et mindre avsnitt om ikke-euklidske hjelpemidler. Kanskje burde sidetittelen endres for å gjøre det klarerer hva innholdet er? Euklidske konstruksjoner kunne være et forslag.

Artikkelen var kildeløs (bortsett fra en oppgitt bok), og her var noe stoff jeg har hatt problemer med å belegge. For eksempel er jeg usikker på om Descartes i La Geometrie oppga andregradsligningen på den ikke-klassiske formen:

$x^{2}-sx+p=0$.

Jeg har derfor valgt å endre dette til bruk av $p=b^{2}$, som er det jeg finner oppgitt i mine kilder. Det kan virke som en bagatell, men kan være viktig for forståelsen av Descartes bidrag. Det er mulig at siden kunne bli bedre av å flytte alt stoffet om analytisk behandling av andregradsligningen til andre sider (for eksempel Andregradsligning), i og med at dette generelt bryter med euklidsk konstruksjon. Toba (diskusjon) 6. mar. 2021 kl. 20:06 (CET)

Jeg følger behov for å utdype hvorfor jeg har problem med å passe inn avsnittene om andregradsligninger i analytisk geometri i denne artikkelen, i håp om at noen en gang vil ta opp ballen og gjøre innholdet bedre. Klassisk plangeometri behandlet lengder og areal, alltid positive størrelser. Det er derfor ikke mulig å løse «generelle» andregradsligninger, tillatt med både positive og negative koeffisienter. I stedet betraktet en flere ulike spesialtilfeller av ligningen, slik som er vist i avsnittet om geometrisk algebra. Ifølge Boyer skrev Descartes i La Geometrie i denne tradisjonen, ved å løse flere spesialtilfeller ved en klassisk geometrisk konstruksjon. For et tilfelle med både en positiv og en negativ rot, tok han ikke med den negative roten. For spesialtilfellet vist i avsnittet om Descartes i denne wiki-artikkelen, kan konstruksjonen fungere for vilkårlige $s$ og $b$. I en analytisk formulering må en imidlertid velge en enhetslengde, og da er konstruksjonen kun euklidsk dersom $s$ og $b$ er konstruerbare fra enhetslengden. Poenget jeg prøver å få fram, er at jeg ikke er sikker på om Descartes egentlig bringer noe nytt med de første geometriske konstruksjonene i La Geometrie. Tolker vi disse konstruksjonene på moderne vis i analytisk form, så er dette kanskje snarere en innsnevring enn en utviding av klassisk geometri. Descartes ga selvsagt andre viktige bidrag, men disse dreier seg jo om å bryte ut fra reglene i den euklidske konstruksjonen. Ifølge referanse 17 var Descartes nyhet verken koordinater eller kombinasjonen av geometri og algebra, men den grafiske representasjonen av funksjoner. Kanskje ikke noe nytt om andregradsligninger, men her er jeg usikker.

Carlyle-sirkelen gir en mer generell løsning, men bruker lengder med fortegn. Selvsagt helt OK i analytisk geometri, men ikke i klassisk. Metoden bruker også en enhetslengde og punktet (0,1). Konstruksjonen gir løsninger for mange valg av koeffisienter, men å bruke et uttrykk som «generell» er farlig. Kunne vi løse en generell andregradsligning, så var problemet med sirkelens kvadratur løst. Da ville temaet for sidene være mer generell geometrisk konstruksjon, og vi kunne ikke omtale de klassiske problemene i denne sammenhengen som «umulige». For Carlyle-sirkelen ligger forutsetninger begravet som ikke er presentert i den form artikkelen har i dag. Carlyle-sirkelen er i bruk i konstruksjon av mangekanter, men da antagelig under forutsetninger der konstruksjonen kan sies å være euklidsk.

Oppsummert: Analytisk geometri hører selvsagt hjemme i denne artikkelen for å vise grensene for euklidsk konstruksjon. Avsnittene om andregradsligningen i en analytisk setting bør enten flyttes eller de trenger en bedre presisering av relasjonen til euklidsk geometri. Toba (diskusjon) 8. mar. 2021 kl. 16:30 (CET)