Kvadratrise

En del av kvadratrisen (i rødt) fremkommer som skjæringspunktet mellom to bevegelige linjestykker.

Kvadratrise er en matematisk kurve som opprinnelig ble konstruert i antikkens Hellas for å løse problemet med vinkelens tredeling. Dette tilskrives Hippias fra Elis slik at den opprinnelig ble kalt trisektrisen til Hippias. Noe senere ble det vist at den kunne også løse problemet med sirkelens kvadratur, det vil si å konstruere et kvadrat med samme areal som innenfor en sirkel. Det var denne anvendelsen som ga kurven navnet kvadratrise. Etter linjen og sirkelen var dette den tredje kurven som fikk sitt eget navn.

Kurven fremkommer ved å betrakte to linjestykker i planet. Det ene roterer med jevn hastighet om et fast punkt A, mens det andre beveger seg med konstant hastighet parallelt til et annet linjestykke AB og vinkelrett på dette. Skjæringspunktet F mellom disse to linjestykkende genererer kvadratrisen når begge linjestykkende når den horisontale posisjonen samtidig. Det roterende linjestykket beskriver en kvart sirkelbue DB etter at det har rotert 90° fra utgangspunktet.

Matematisk beskrivelse

For en matematisk beskrivelse av kvadratrisen er det enklest å tenke seg at den fremkommer ved den motsatte bevegelsen hvor de begge beveger seg fra en horisontal utgangsposisjon. Det roterende linjestykket vil da i hvert tidspunkt t danne en vinkel φ = ωt med den horisontale aksen hvor ω er den konstante rotasjonshastigheten. Punktet F vil samtidig ha beveget seg et stykke y = vt i vertikal retning når begge bevegelsene starter ved tiden t = 0.

Etter en viss tid T er rotasjonen på 90° fullført. Da dette tilsvarer π/2 radianer, må derfor vinkelhastigheten være slik at π/2 = ωT. Den parallelle bevegelsen av linjestykket AB må da være slik at ved samme tidspunkt T har det tilbakelagt en strekning a = vT hvor a er lengden av sidene AB = AD. Det betyr at ω/v = π /2a slik at kvadratrisen er gitt ved den matematiske betingelsen

${y \over a}={2 \over \pi }\phi$

som alltid må være oppfylt. En fullstendig ligning for kurven avhenger av hvilke koordinater man vil benytte.

Ved bruk av polarkoordinater innfører man avstanden r = |AF | som en ny koordinat. Da er y = r sinφ. Dermed kan ligningen for kvadratrisen i koordinatsystemet (r,φ) skrives som

${r \over a}={2 \over \pi }{\phi \over \sin \phi }$

Når helningsvinkelen φ → 0, vil sinφ → φ slik punktet F blir liggende på den horisontale aksen i en avstand r/a = 2/ π  fra A. Denne ligningen er nå gyldig for - π < φ < π . I grensen φ → ± π  vil punktet F  bevege seg uendelig langt ut til venstre i diagrammet.

Kvadratrisen for a = 1 plotted med x-aksen rettet i horisontal retning mot høyre og y-aksen pekende oppover.

Hvis man i stedet benytter et kartesisk koordinatsystem (x,y) med x-aksen langs AB, origo i det faste punktet A og med y-aksen langs AD, vil man ha at x = r cosφ i tillegg til at y = r sinφ. Derfor er x/y = cotφ som etter innsettelse for φ gir den kartesiske ligningen for kurven,

$x=y\cot {\pi y \over 2a}\,.$

Når y øker, går x mot null for y = a. For større verdier av y blir x stadig mer negativ og går mot minus uendelig når y → 2a. Det tilsvarer at y går mot grensen φ = π .

På denne formen kan kurveligningen nå også plottes for y > 2a. Man finner da en ny gren av funksjonen når y øker i intervallet 2a < y < 4a, mens x avtar fra positiv uendelig til minus uendelig. Slik vil kvadratrisen i kartesiske koordinater fremstå som en kurve bestående av uendelig, ikke-sammenhengende grener som vist i figuren til venstre.

Sirkelens kvadratur

Hvordan kvadratrisen med a = 1 kan brukes til å løse problemet med sirkelens kvadratur.

Den greske filosof Proklos skriver at det var Hippias fra Elis som konstruerte denne kurven for å løse problemet med vinkelens tredeling. Noe senere gjorde en annen, gresk matematiker Dinostratos bruk av den til å løse problemet med sirkelens kvadratur. Han var bror til Menaikhmos og begge hadde vært elever av Platon. Siden den tid er kurven blitt omtalt som kvadratrisen.

Sirkelens kvadratur går ut på å bestemme siden i et kvadrat som har like stort areal som innenfor en sirkel. I moderne notasjon betyr det å bestemme verdien på konstanten π eller mer nøyaktig, bestemme √π . Løsningen til Hippias tilsvarer den geometriske konstruksjonen vist i figuren til høyre. Hvis man setter lengden til siden AB lik med a = 1, vil lengden AJ være lik 2/π  ut fra hvordan kvadratrisen er definert. Det gir i praksis allerede verdien på π .

En mer eksplisitt verdi fås ved å trekke et linjestykke JK med lengde a = 1, parallelt til siden BC og dens forlengelse. Skjæringspunktet L med denne og forlengelsen av AK gir da linjestykket BL med lengde π/2. Dette linjestykket sammen med et av lengde 1/2 brukes så som diameter NQ i en halvsirkel. Normalen OR på denne diameteren vil dermed bli mellomproporsjonalen eller den geometriske middelverdien av lengdene NO og OQ. Og det er √π/2 som inneholder løsningen på problemet.

Litteratur

• A. Holme, Matematikkens historie, vol. 1, Fagbokforlaget, Bergen (2002). ISBN 82-7674-678-0.
• C. B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.

Eksterne lenker

• E.W. Weisstein, Quadratrix of Hippias, MathWorld.
• MacTutor, Quadratrix of Hippias, University of St. Andrews, Scotland.