Logaritmers historie

John Napier (1550-1617)

Logaritmers historie startet i 1614 da John Napier publiserte verket Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio hvor ordet logaritme ble brukt for første gang. Verket ga en metode til forenkling av beregninger hvor stor nøyaktighet var påkrevet. Dette gjaldt spesielt innen astronomi og navigasjon. Fremgangsmåten hadde noen likhetspunkter med prostaferese hvor multiplikasjon og divisjon kunne erstattes av addisjon og subtraksjon ved bruk av trigonometriske tabeller. Hans verk inneholdt logaritmer med syv siffers nøyaktighet for sinus til alle vinkler mellom 0° og 90° for hvert bueminutt samt noen eksempler på deres bruk.

En beskrivelse av hvordan han hadde konstruert sine logaritmer ble først gitt i verket Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio som ble publisert av hans sønn samme år som han døde i 1617. Der kom det frem at han hadde brukt tyve år på dette arbeidet.

Napiers logaritmer var basert på en direkte sammenheng mellom tall i en geometrisk rekke og tilsvarende tall i en aritmetisk rekke som i den moderne definisjonen. Tallene i den aritmetiske rekken var gitt ved forhold mellom forskjellige tall i den geometrisk rekken og ble kalt for logaritmer eller «tall for forhold» ut fra de greske ordene logos (ord, relasjon eller forhold) og arithmos (tall).

Napiers logaritmer

Basert på sin egen fremgangsmåte kunne Napier for hvert heltall N definere en ekvivalent og heltallig logaritme L ut fra sammenhengen

$N=10^{7}(1-10^{-7})^{L}$

skrevet i moderne notasjon. Tallet 10⁷ = 10 000 000 valgte Napier ut fra den nøyaktighet han ville benytte i sine beregninger. Det har dermed logaritmen L = 0, og alle mindre tall har større logaritmer. Dette spesielle tallet tilsvarte antall enheter som han delte radius opp i ved beregning av de trigonometriske funksjonene.

Napier la merke til at differansen i logaritmene til alle tallpar hvor det ene var to ganger større enn det andre, var 6 931 469. Likedan var denne differansen 23 025 842 når det ene var ti ganger større enn det andre. I dag forstår vi disse tallene som meget gode tilnærmelser av de naturlige logaritmene ln 2 = 0.6931 472 og ln 10 = 2.3025 851 når de multipliseres med 10⁷ slik at desimaltegnet flyttes syv plasser til høyre.

Dette følger fra den moderne definisjon av logaritmer som sier at tallene N/10⁷ er konstruert med grunntallet 1 - 10^-7 = 0.9999 999. Alternativt kan man skrive denne sammenhengen som

${N \over 10^{7}}={\Big (}1-{1 \over 10^{7}}{\Big )}^{10^{7}\cdot (L/10^{7})}=e^{-L/10^{7}}$

når man benytter definisjonen av Eulers tall e = 2.71828 1828 ... og betrakter 10⁷ som et uendelig stort tall. Jo større tallet N er, desto mindre er den tilsvarende napierske logaritmen L. Fremstilt på denne måten, bygger de napierske logaritmene på grunntallet 1/e = 0.367879... . Av denne grunn blir Eulers tall noen ganger omtalt som Napiers konstant.

Jost Bürgi

En side fra Jost Bürgis, Progress Tabulen (1620).

Omtrent på samme tid som Napier etablerte sine logaritmer, hadde den sveitsiske instrumentmaker og astronom Jost Bürgi konstruert sin egne logaritmer. Han arbeidet i en periode som assistent for Johannes Kepler og publiserte sine alternative logaritmetabeller Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen først i 1620. På den måten kom dette arbeidet i skyggen av Napiers verk.

Bürgi bygger også på sammenhengen mellom en geometrisk og aritmetisk rekke og skriver hvert tall i N sin tabell på formen

$N=10^{8}(1+10^{-4})^{L}$

hvor L angir logaritmen, et navn som han selv ikke brukte da han sannsynligvis ikke visste om Napiers arbeid. Derimot var tallene N i tabellen trykt med svart og 10L med rødt, så han omtalte dem som «svarte tall» og «røde tall».

Grunntallet i denne fremstillingen er 1.0001. Faktoren 10⁸ betyr at N kan angis med åtte siffers nøyaktighet. Disse ble regnet ut for L fra 0 til 23027 som tilsvarer verdier av antilogaritmen N fra 10⁸ til 10⁹. Betrakter man igjen tallet 10⁴ som så stort at man kan gjøre samme approksimasjon som for Napiers logaritmer, har man

${N \over 10^{8}}={\Big (}1+{1 \over 10^{4}}{\Big )}^{10^{4}\cdot (L/10^{4})}=e^{L/10^{4}}$

Det største, røde tallet 23027 for N = 10⁹ oppstår derfor fra sammenhengen 10 = e^2.3027 som er tilnærmet riktig fordi den naturlige logaritmen ln 10 = 2.3025 842. Grunntallet i logaritmesystemet til Bürgi kan da med en viss nøyaktighet sies å være Eulers tall e. I motsetning til Napiers logaritmer, vil de til Bürgi øke med tallet N.

Multiplikasjon, divisjon og rotutdragning av tall i dette intervallet kan regnes ut som ved bruk av vanlige logaritmer når man betrakter dem som desimaltall som kan skaleres opp eller ned ved flytting av komma. Beregning av en kubikkrot med denne metoden er derimot ikke uten videre mulig.

Johannes Kepler

I sine første, astronomiske beregninger gjorde Kepler bruk av prostaferese som til en viss grad forenklet arbeidet. Men da han ble kjent med Napiers logaritmer noen få år etter deres publikasjon i 1614, forsto han at dette var en bedre metode. Men da det på det tidspunkt ikke var kjent hvordan disse logaritmetabellene var blitt konstruert, gikk Kepler i gang med å konstruere sine egne. Den første utgaven av disse Chilias logarithmorum («Tusenvis av logaritmer») ble trykt i 1624 mens han arbeidet med sine Rudolfinske tabeller. Dette var samme år som Henry Briggs utga sitt store verk Arithmetica Logarithmica om logaritmer med grunntall 10.

Kepler benyttet en helt annen tankegang enn Napier i sin utledning av logaritmen til et tall x. Dette kunne også være et rasjonalt tall, det vil si en brøk a/b av to heltall. Hans konstruksjon var basert på eksistensen av det vi i dag ville kalle en funksjon M(x ) med den fundamentale egenskapen at

$M(x\cdot y)=M(x)+M(y)$

Hvis nå c er den geometriske middelverdien av de to tallene a og b slik at c² = a⋅b, vil a/b = (a/c)² . Funksjonen M(x ) oppfyller derfor

$M(a/b)=M(a/c)+M(c/b)=2\cdot M(a/c)$

som betyr at M(x²) = 2⋅M(x ). Ved å gjenta denne argumentasjonen har man dermed funksjonalligningen

$M{\big (}x^{2^{n}}{\big )}=2^{n}\cdot M(x)$

som må være oppfylt. Den har som løsning at M(x ) = z⋅lnx når den utrykkes ved den naturlige logaritmefunksjonen og z er et vilkårlig tall. Kepler kunne dermed reprodusere de napierske logaritmene ved å skrive dem som

${\text{NapLog}}(x)=M(z/x)$

hvor z = 10⁷ er den nøyaktighet som Napier hadde brukt.

Numerisk beregning

Den moderne forståelsen av logaritmer ble først etablert vel hundre år etter at Kepler var død. Han kunne derfor ikke gjøre bruk av noen naturlige logaritmer, men benyttet beregninger av geometriske middelverdier. I praksis betyr det å beregne kvadratrøtter. For eksempel, når x = 10/7 kunne han skrive dette rasjonelle tallet også som 1000/700 eller multiplisere teller og nevner med enda høyere potenser av 10 for å øke nøyaktigheten. Hvis nå x₁ er det geometriske middel av a og b, er M(a/b) = 2⋅M(a/x₁). Videre kan man på samme måte la x_n+1 være det samme middel mellom a og x_n  slik at M(a/x_n) = 2⋅M(a/x_n+1). Etter n slike iterasjoner har man dermed

$M(a/b)=2^{n}\cdot M(a/x_{n})$

hvor på høyre side x_n  nærmer seg a. Da funksjonen M(x ) har egenskapen at M(1) = 0, setter Kepler at

$M(a/x_{n})=a-x_{n}$

når n blir tilstrekkelig stor. Det er akkurat denne betingelsen som definerer funksjonen som en naturlig logaritme og tilsvarer ln(1 + ε) = ε i grensen der den lille størrelsen ε blir tilstrekkelig liten.

Briggs-logaritmer

En side fra Logarithmorum Chilias Prima med briggske logaritmer for tallene 1 til 67 med fjorten desimaler.

Hvis man betrakter heltallene 10⁷ hos Napier og 10⁸ hos Bürgi som desimaltallet 1.0 med et tilsvarende antall nuller etter seg, er logaritmen til dette tallet L = 0 i begge formuleringene. Da den engelske matematiker Henry Briggs ble kjent med Napiers logaritmer etter deres publikasjon i 1614, innså han med en gang betydningen av denne egenskapen. Men i tillegg ville han forbedre Napiers logaritmer ved å definere dem på en ny måte som reflekterer den enkle egenskapen at når et helt tall multipliseres med 10, så føyes bare en null til høyre ende av tallet.

Han kom frem til at dette kunne gjøres enklest ved å definere nye logaritmer lg = log₁₀ med 10 som grunntall og som oppfyller lg 1 = 0 sammen med lg10 = 1. Han presenterte disse nye, briggske logaritmene først for tallene 1 - 1000 i et mindre arbeid Logarithmorum Chilias Prima i 1617 og ga en mer fullstendig fremstilling i 1624 i det store verket Arithmetica Logarithmica. Her var logaritmer for alle tall fra 1 til 20 000 og 90 000 til 100 000 beregnet, igjen med fjorten siffers nøyaktighet. Disse er mye mer anvendelige og enklere å bruke enn både Napiers og Bürgis logaritmer, og er de som benyttes i dag ved praktiske beregninger.

Den sentrale fremgangsmåten Briggs benyttet til sine beregninger av logaritmen til et primtall, var ved beregne påfølgende kvadratrøtter av tallet. Dette ga et nytt tall som ble stadig mindre og raskt nærmet seg 1. Etter et stort antall n slike operasjoner, kom han da frem til at logaritmen til tallet var

$\lg a=2^{n}k(a^{1/2^{n}}-1)$

hvor konstanten k = 0.4342 9448 med åtte desimalers nøyaktighet. I dag vet vi at denne tilsvarer k = lg e  hvor e er Eulers tall. Logaritmen til et sammensatte heltall kunne så finnes ved addisjon av logaritmen til primtallene det besto av.

Hyperbolske logaritmer

I den andre utgaven av Napiers Constructio som ble oversatt til engelsk av Edward Wright like før han døde i 1615, finnes det et tillegg som er en tabell med det som dag kalles naturlige logaritmer. Det er uklart hvordan den er oppstått.

Logaritmer ble i årene etterpå betraktet som isolerte tall som gjorde praktiske beregninger enklere. Men på midten av 1600-tallet ble det klart at arealet under hyperbelen y = 1/x kunne benyttes til å definere en logaritmisk funksjon log(x ) med den fundamentale egenskapen log ab = log a + log b. Spesielt ble dette klarlagt av Christian Huygens i et arbeid fra 1661. Slike hyperbolske logaritmer kan defineres ved integralet

$\log(1+x)=\int _{0}^{x}{dt \over 1+t}=x-{1 \over 2}x^{2}+{1 \over 3}x^{3}-{1 \over 4}x^{4}+\cdots$

hvor rekken er konvergent for |x | < 1. Det var derfor mulig å beregne dem mer direkte enn det var for tidligere logaritmer.

Spørsmålet om denne nye logaritmefunksjonen kunne utvides til negative verdier av argumentet, dukket snart opp. Dette kan illustreres av diskusjonen mellom Johann Bernoulli og Gottfried Leibniz på begynnelsen av 1700-tallet. Ut fra den vanlige egenskapen ved logaritmer at log a² = 2 log a, var det kanskje naturlig å definere logaritmen til et negativt tall ved 2 log(-a) = log(-a)² = log a². Derfor ville log(-a) = log a som Bernoulli mente måtte være riktig. Det ville i så fall bety at log(-1) = log 1 = 0. Men Leibniz pekte da på at log(-1) = log i² = 2 logi som han fant helt meningsløst.

Ved å bruke definisjonen av den hyperbolske logaritmen, oppdaget Bernoulli i 1702 et nytt problem. Det oppsto i integralet som definerer den inverse tangensfunksjonen. Ved en omskrivning fant han

${\begin{aligned}\arctan u&=\int _{0}^{u}{dt \over 1+t^{2}}={1 \over 2i}\int _{0}^{u}\left({1 \over t-i}-{1 \over t+i}\right)\\&={1 \over 2i}\log {1+iu \over 1-iu}\end{aligned}}$

som viser at logaritmen til dette komplekse argumentet må være rent imaginært. Likevel kom ikke Bernoulli mye nærmere en løsning av problemet med logaritmen til negative og komplekse tall.

Euler og naturlige logaritmer

Da den komplekse, logaritmiske funksjonen log z er mangetydig, kan det komplekse planet utvides med mange kopier av seg selv som legges over hverandre og forbindes. På denne glatte Riemann-flaten er nå funksjonen entydig.

Leonhard Euler ble tidlig student hos Johann Bernoulli i Basel, og de diskuterte dette og mange lignende problem. I 1727 da han var 20 år gammel, påpekte han at integralet til Bernoulli kunne benyttes til å beregne arealet av en sirkulær sektor. Hvis radius i sirkelen er a og sektoren tilsvarer en buelengde θ, så er dette arealet A = a²θ/2. I et kartesisk koordinatsystem med sirkelens senter i origo og en side langs x-aksen, er tanθ = y /x hvor punktet (x,y) på sirkelen angir den andre siden til sektoren. Bernoullis resultat for integralet gjør det derfor mulig å skrive arealet som

$A={a^{2} \over 4i}\log {x+iy \over x-iy}$

ved å sette inn u = y /x. En kvadrant av sirkelen tilsvarer en sektor som utspinner en vinkel θ = π /2 radianer. Det tilsvarer punktet (0,a) i denne formelen. Da kvadranten har arealet A = a²π /4, får man dermed

$\log(-1)=i\pi$

Dette skulle vise seg å være et avgjørende resultat. Euler tok det med seg da han samme år ble ansatt ved Det russiske vitenskapsakademiet i St. Petersburg.

I et brev til Christian Goldbach i 1731 definerte han et spesielt tall e = 2.71828... hvis hyperbolske logaritme log e = 1. Senere er dette blitt kalt for Eulers tall selv om det var tidligere blitt undersøkt av Jakob Bernoulli.

På denne måten kunne den hyperbolske logaritmefunksjonen log x defineres med e som grunntall. Den er derfor den inverse av den naturlige eksponentialfunksjonen e^x som Johann Bernoulli hadde tidligere studert.

Euler ga en fullstendig fremstilling av denne nye matematikken i sitt store verk Introductio in Analysin Infinitorum skrevet i årene før 1745, men utgitt først i 1748 da han bodde i Berlin. Siden har hyperbolske logaritmer også blitt kalt naturlige logaritmer og betegnes ofte som ln eller log_e . De kan defineres generelt som

$\ln x=\lim _{h\rightarrow 0}{1 \over h}(x^{h}-1)$

som er ekvivalent til definisjonen Briggs ga av sine logaritmer. Det ser man ved å sette 2ⁿ = 1/h i hans uttrykk for n kvadratrøtter av tallet x.

Denne mer generelle definisjonen av logaritmefunksjonen basert på den naturlige eksponentialfunksjonen gjorde det også mulig å definere logaritmen av negative og komplekse tall på en entydig måte. Det kan gjøres av Eulers formel

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

som han fant i 1745. Da de trigonometriske funksjonene er periodiske, vil den naturlige logaritmen kunne være mangetydig. For et generelt, komplekst tall z = r e^iθ  kan fasevinkelen θ økes med et vilkårlig antall av den hele vinkel 2π uten at det forandres. Det betyr at den tilsvarende logaritmen

$\ln z=\ln r+i(\theta +m\cdot 2\pi )$

hvor m er et positivt eller negativt heltall. Prinsipalverdien fremkommer for m = 0. Det betyr at for et reelt tall a er ln (-a) = ln a + iπ + m⋅2π i. Samme år som denne endelige syntesen ble publisert i 1748, døde Eulers læremester Johann Bernoulli.

Richard Feynman

I sine berømte forelesninger i fysikk på begynnelsen av 60-tallet benyttet Richard Feynman anledningen til å gå nærmere inn på den praktiske beregning av logaritmer. Han anvendte da samme fremgangsmåte som Henry Briggs i sin tid hadde brukt ved å ta et stort antall kvadratrøtter at tallet. Men Feynman gikk videre og viste hvordan naturlige logaritmer også for komplekse tall kan beregnes på denne måten. Han kom dermed frem til Eulers formel ved en ren numerisk metode.

Tyve år senere år senere arbeidet Feynman delvis som konsulent for The Connection Machine som på den tiden skulle bli en av de største supercomputere. En av hans oppgaver var å utvikle en rask algoritme til beregning av binære logaritmer lb, det vil si med basis 2 slik at de også skrives som log₂. Her kom han frem til en metode som bygger på samme prinsipp som Henry Briggs brukte i Arithmetica Logarithmica i 1624 og som i dag ofte kalles for radix-metoden. Lignende fremgangsmåter for elektroniske regnemaskiner hadde han vært med å utvikle i Los Alamos i forbindelse med konstruksjon av de første atombombene i 1945.

Se også

• Logaritmer
• Briggs-logaritmer
• Naturlig logaritme
• Napiers logaritme

Eksterne lenker

• F. Cajori, A History of Mathematics, MacMillan and Co, New York (1894). Archive.org online version.
• K. M. Clark and C. Montelle, Logarithms: The Early History of a Familiar Function, Mathematical Association of America, Convergence (2011).