Transversalteoremet

Transversalteoremet, også kalt Tales’ teorem, er en grunnleggende setning i euklidsk plangeometri om forholdet mellom sidelengder i to formlike eller likedannete trekanter. En transversal er en tverrlinje som krysser et system av linjer.

«Gitt to rette linjer som skjærer hverandre. Hvis vi overskjærer disse med to paralleller, får vi to trekanter med sider som har parvis samme forhold til hverandre.»

Tradisjonen knytter teoremet til den greske matematikeren og filosofen Tales fra Milet, som levde i det sjette århundre før Kristus. Grunnlaget for å knytte teoremet til Tales er usikkert og omdiskutert.

Matematisk formulering

Transversalteoremet er et uttrykk for proporsjonalitet mellom sidelengder i formlike trekanter. To alternative geometrier er vist i figurene under. To rette linjer skjærer hverandre i et punkt A. To andre, parallelle linjer skjærer de to første linjene i punktene B, C, D og E. I den høyre figuren ligger skjæringspunktet A mellom de to parallelle linjene, mens i den venstre har de to parallelle linjene punktet A på samme side. I begge tilfeller er trekantene ADE og ABC likedannete, siden trekantene har parvis like vinkler. Transversalteoremet sier at

${AB \over AD}={AC \over AE}={BC \over DE}=k$

Det felles forholdet $k$ kalles linjeforholdet for de to formlike trekantene. Ved enkle algebraiske omforminger kan ligningen teoremet uttrykes på svært mange forskjellige måter:

${\begin{alignedat}{2}a:b=c:d=k\quad \Rightarrow \quad &\\&(a+c):(b+d)=k\\&(a+b):b=(c+d):d\\&(a-b):b=(c-d):d\\&(a+b):a=(c+d):c\\&(a-b):a=(c-d):c\end{alignedat}}$

Forholdet mellom summen av to vilkårlige linjestykker i den ene trekanten og de tilsvarende i den andre trekanten er dermed lik $k$. Det samme gjelder for foholdet mellom omkretsene.

Fra teoremet følger det umiddelbart at når en trekant ABC skjæres innvendig av en linje DE parallell med siden AB , så vil sidelengdene være parvis proporsjonale. Teoremet kan også brukes når en trekant har en linje utenfor trekanten, parallell med en av sidene, ved å forlenge de to andre trekantsidene.

To parallelle linjer (røde) skjærer to gitte linjer (sorte).

Skjæringspunktet mellom de gitte linjene ligger mellom de parallelle linjene.

Bevis

Beviset utføres ofte i to steg: Først for tilfellet der sidelengdene i de to formlike trekantene er kommensurable, deretter for tilfellet der sidelengdene er inkommensurable.

Anvendelser

Deling av en linje

Transversalteoremet kan brukes til å dele et vilkårlig linjestykke i et gitt forhold. Figuren til høyre viser en deling av et linjestykke AB i tre like deler. Konstruer en normal i A og deretter en parallell til den opprinnelige linjen, gjennom et vilkårlig punkt C. På parallellen, sett av tre nye punkt i avstanden AB: D, E og F. Trekk så en linje gjennom F og B. Denne skjærer normalen i A i et punkt T. Trekk så linjer gjennom T og punktene D og F. Alle linjene gjennom T deler nå linjestykket AB i tre like deler.

Avstandsbestemmelse

Transversalteoremet kan brukes til å bestemme en avstand som kanskje ikke er mulig å måle direkte. På figuren til høyre kan en tenke seg at det er mulig å måle avstandene AC, FC og FE. Den søkte avstanden er da

$AB={\frac {AC\cdot FE}{FC}}$

Transversalteoremet brukt til å dele et linjestykke i tre like deler

Avstanden AB kan beregnes ved hjelp av transversalteoremet

Den omvendte setningen

Innholdet i transversalsetningen kan også snus på hodet: Gitt at to vilkårlige linjer krysser en vinkel, og at disse linjene deler vinkelbeina slik at samsvarende linjestykker har et fast forhold. Da er de to rette linjene parallelle.

Historie

Transversalteoremet brukt til å beregne pyramidehøyden, D/A = C/B.

Som for det meste av den eldre matematikken er det stor usikkerhet knyttet til opphavet til kunnskapen om formlike trekanter og proporsjonalitetsforhold. Det er delte meningen om hvor mye som var kjent i babylonsk matematikk av denne kunnskapen. Mange kileskrifttavler fra Babylon kan tolkes som å inneholde bruk av en form for likedannethet. Kanskje var kunnskapen begrenset til rettvinklete trekanter.

I kilder om oldtidens egyptiske matematikk er det få og ingen spor å finne etter kunnskap om formlike trekanter. Rhind-papyrusen inneholder fem problemer knyttet til stigningstall for sideflaten i en pyramide, en teori som kan minne om formlikhet.

Bakgrunnen for at Tales fra Milet i tradisjonen er knyttet til transversalteoremet, er en historie gjenfortalt av gamle kilder i litt ulike varianter. Tales levde i den greske bystaten Milet i det sjette århundre før Kristus. Han er bare kjent gjennom senere omtale, og kildene regnes som svært usikre. Ifølge Proklos sitt sammendrag av Evdemos’ Geometriens historie skal Tales ha reist til Egypt, og fra denne reisen tok han med seg kunnskapen om geometri tilbake til grekerne. På reisen til Egypt skal han ha imponert egypterne med å beregne høyden til en pyramide. Proklos forteller at Tales fant et tidspunkt på dagen da hans egen skygge hadde samme lengde som han selv, og da var det bare å måle lengden av skyggen som pyramiden kastet. Plinius den eldre har en lik fortelling. Denne varianten av historien stiller ikke krav til bruk av formlike trekanter. Derimot forteller Plutark at Tales brukte skyggen fra en vertikal stokk og fant pyramidehøyden fra høyden av stokken samt lengdene av de to skyggen fra stokken og pyramiden.

Thomas Heath stiller seg tvilende til om Tales har hatt en forståelse av formlikhet for generelle trekanter. Han betrakter versjonen av historien til Proklos og Plinius som den mest troverdige. Selv om Tales skulle ha brukt skyggen fra en stokk på et vilkårlig tidspunkt, strekker ifølge Heath dette seg ikke ut over den typen beregning som blir gjort i Rhind-papyrusen. Det er grunn til å tro at Pytagoras og pytagoreerne utviklet teori for proporsjonalitet, men da strengt tatt gyldig kun for kommensurable størrelser. Dette trenger ikke å ha hindret dem i å bruke resultatet også for inkommensurable størrelser, uten å oppdage grenseoverskridelsen.

En komplett teori for proporsjonalitet, som omfattet både kommensurable og inkommensurable lengder, skal ifølge senere kilder være utviklet av Evdoksos, som levde i det fjerde århundre før Kristus. Teorien er gjengitt i bok V i Euklids Elementer. I bok VI, påstand 2, gir Euklid transversalteoremet.

Tilnavnet «Tales’ teorem» er en relativt ny konstruksjon, og første kjente forekomst er fra en fransk lærebok fra 1882, brukt om transversalteoremet. Historiske referanser ble på slutten av 1800-tallet vanlig brukt i lærebøker. I tyske lærebøker ble navnet «Tales’ teorem» derimot knyttet til halvsirkelteoremet, med første kjente forekomst i 1894. En nyere tolkning er at lærebokforfattere brukte den historisk tilknytningen for å gi teoremene ekstra tyngde. Dette er omtalt som «didaktisk rekonstruksjon» av historien, utført for å tjene læringsformål og ikke for historisk nøyaktighet.

Litteratur

• Thomas Heath (1981). A history of Greek mathematics. I. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24073-8. 
• Carl B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3. 
• Audun Holme (2008). Matematikkens historie. 1. Bergen: Fagbokforlaget. ISBN 978-82-450-0697-1. 
• A. Søgaard, R. Tambs Lyche (1955). Matematikk for den høgre skolen. 2 : For realgymnaset første del. Oslo: Gyldendal Norsk Forlag. 
• Knut Alfsen, Erik Alfsen (1975). Matematikk for gymnaset. Geometri 1 med vektorregning. Oslo: Aschehoug. ISBN 8203063861. 

• C. B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.