Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Denne artikkelen mangler
kildehenvisninger , og opplysningene i den kan dermed være vanskelige å
verifisere . Kildeløst materiale kan bli
fjernet . Helt uten kilder.
(10. okt. 2015 )
Funktorer er tilordninger som kan tenkes på som funksjoner mellom kategorier .
La C and D være kategorier . En (kovariant) funktor F fra C til D er en tilordning som
til ethvert objekt
X
∈
C
{\displaystyle X\in C}
tilordner et objekt
F
(
X
)
∈
D
{\displaystyle F(X)\in D}
,
til enhver morfi
f
:
X
→
Y
∈
C
{\displaystyle f:X\rightarrow Y\in C}
tilordner en morfi
F
(
f
)
:
F
(
X
)
→
F
(
Y
)
∈
D
{\displaystyle F(f):F(X)\rightarrow F(Y)\in D}
slik at de følgende krav oppfylles:
F
(
i
d
X
)
=
i
d
F
(
X
)
{\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}
for alle
X
∈
C
{\displaystyle X\in C}
F
(
g
∘
f
)
=
F
(
g
)
∘
F
(
f
)
{\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}
for alle morfier
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y\,\!}
og
g
:
Y
→
Z
.
{\displaystyle g:Y\rightarrow Z.\,\!}
En kontravariant funktor F fra C til D er en tilordning som
til ethvert objekt
X
∈
C
{\displaystyle X\in C}
tilordner et objekt
F
(
X
)
∈
D
{\displaystyle F(X)\in D}
,
til enhver morfi
f
:
X
→
Y
∈
C
{\displaystyle f:X\rightarrow Y\in C}
tilordner en morfi
F
(
f
)
:
F
(
Y
)
→
F
(
X
)
∈
D
{\displaystyle F(f):F(Y)\rightarrow F(X)\in D}
slik at de følgende krav oppfylles:
F
(
i
d
X
)
=
i
d
F
(
X
)
{\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}
for alle
X
∈
C
{\displaystyle X\in C}
F
(
g
∘
f
)
=
F
(
f
)
∘
F
(
g
)
{\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)}
for alle morfier
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y\,\!}
og
g
:
Y
→
Z
.
{\displaystyle g:Y\rightarrow Z.\,\!}
Funktorer må altså bevare identitetsmorfier og komposisjon av morfier.
I kategorien F -vektorrom for en gitt kropp F er de følgende tilordningene funktorer:
Tilordning av dualrom V* til et vektorrom V .
Tilordning av homomorfier inn i og ut av V . Hom(V,–) er kovariant og Hom(-,V) er kontravariant.
Tilordning av F -tensorprodukt med V .