Pappos fra Alexandria

Pappos fra Alexandria
Født		Πάππος 3.århundre Alexandria (Det romerske keiserriket)
Død		4.århundre
Beskjeftigelse		Matematikk
Nasjonalitet		Gresk
Pappos fra Alexandria på Commons

Pappos fra Alexandria (gresk: Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς) (3-4. århundre) var en av de siste store greske matematikerne fra antikken. Han er kjent både for eget arbeid og som viktig kilde til informasjon om andre greske matematikere.

Pappos viktigste verk er Samling, på gresk Synagoge, skrevet omkring 320. Av de åtte bøkene i dette verket er første bok og deler av bok nummer to gått tapt. Bøkene inneholder en oversikt over resultater fra tidligere matematikere, alternative bevis for kjente resultater og også nye resultater og generaliseringer.

Liv

Tittelside til den latinsk oversettingen Mathematicae Collectiones, fra 1589 av Federico Commandino

Lite og ingenting er kjent om personen Pappos. Nøyaktig leveår er ikke kjent, men han var antagelig virksom i slutten av det tredje århundre. Den eneste kilden til denne opplysningen er en kommentar i margen til en utgave fra de 10 århundre av en kronologisk tabell opprinnelig skrevet av Theon fra Alexandria. Ved siden av navnet Diokletianer det tilført «Pappos skrev på denne tiden». Diokletian var romersk keiser fra 284 til 305, og Pappos må ifølge denne kilden ha vært aktiv i dette tidsrommet.

Pappos refererer til Klaudios Ptolemaios, som døde omkring 168 e.Kr. Samtidig blir Pappos selv referert til av filosofen Proklos, født omkring 410. Pappos må nødvendigvis ha levd i perioden mellom disse årstallene.

Ifølge det bysantinske leksikonnet Suda levde Pappos samtidig med Theon fra Alexandria, og begge levde under keiser Theodosius den store (379-395). Antagelig er dette feil og skyldes en sammenblanding av Pappos og Theon.

Bakgrunn og sammenheng

Gullalderen i gresk geometri er karakterisert som avsluttet med Apollonios fra Perge, som levde omkring 200 år før Kristi fødsel. Etter Aplollios ga Menelaos fra Alexandria (omkring 100 e.Kr.) og Ptolemaios (omkring 150 e.Kr.) viktige bidrag i sfæriske geometri og astronomi, men ellers var matematiske arbeider i denne perioden begrenset til elementære lærebøker. Pappos ønsket å revitalisere geometrien, ved å presentere en oversikt over all kjent kunnskap på området. Fra måten Pappos presenterer eldre arbeider kan det synes som om mange av disse har gått i glemmeboka, og at Pappos ønsker å gjøre leserne oppmerksomme på innholdet i bøkene.

Pappos lykkes ikke i ønsket om å revitalisere geometrien, og han ble den siste store greske geometeren.

Samlinger

Bok I

Hele Bok I er tapt. Anatagelig var temaet i denne boka det samme som i Bok II, gresk aritmetikk

Bok II

Bok II inneholder 26 avsnitt, og de 13 første har gått tapt. Boka drøfter en metode fra Apollonios for å multiplisere svært store tall. Et stort tall ble representert som en sum av potenser av et grunntall myriade $M=10^{4}$:

$a_{0}+a_{1}M+a_{2}M^{2}+\dots$

Addisjon og multiplikasjon kunne så utføres ved en kombinasjon av operasjoner på potensene og på koeffisientene $a_{i}$.

Bok III

Bok III inneholder fire deler, der alle drøfter ulike geometrisk problemstillinger. Pappos skiller som andre greske matematikere mellom tre typer av problem: '

• Plane problem, der løsningen bare krever bruk av linjer og sirkler
• Romlige problem, som krever bruk av kjeglesnitt
• Lineære problem, som er alle andre problem, og som krever bruk av kurver som ikke er kjeglesnitt, for eksempel en spiral.

Første og andre del drøfter romlige problem: konstruksjon av ulike middelverdier og forholdstall, med utgangspunkt i to gitte lengder.

Del 2 går gjennom en problem og resultat fra et verk **Paradoxes** av en ellers ukjent matematiker med navn Erykinos, resultat som ved første øyekast kan synes å være i konflikt med konklusjoner i Euklids Elementer.

Del 3 viser hvordan platonske romlige legemer hver for seg kan innskrives i en kule, for eksempel en regulær pyramide og et regulært oktaeder.

Bok IV

Pappos arealteorem: Summen av de to mørkegrå arealene er lik det lysegrå arealet

Bok IV mangler tittelsiden og forordet. Boka inneholder en samling av resultater, uten en tilsynelatende helhetlig plan. Del 1 er en generalisering av et teorem fra første bind i Euklids Elementer (Euklid I,47), nå kjent som Pappos' arealteorem. Teoremet gir en sammenheng mellom arealene til tre parallellogram som er konstruert basert på sidene i en vilkårlig trekant.

Del 2 omhandler sirkler innskrevet i en arbelos.

Del 3 og 4 diskuterer to klassiske problemstillinger i gresk matematikk: sirkelens kvadratur og vinkelens tredeling.

Del 5 gir en ny løsning på et problem formulert av Arkimedes, i Om spiraler.

Bok V

Bok V har en innledning som er blitt berømt, Om klokskapen til bier. Med utgangspunkt i de sekskantede cellene i en bikube, skriver Pappos at biene må ha en fom for matematisk klokskap, siden denne geometriske formen har en rekke ideelle egenskaper. Resten av boka drøfter problemstillinger knyttet til isoperimetri, det vil si geometriske former som har like lang omkrets eller like stor overflate.

Bok VI

Innholdet i Bok VI er knyttet til astronomi. Ptolemaios' Almagest var karakterisert som hovedverket i astronomi, og alle andre verk ble kalt sekundære eller mindre. Bok VI drøfter en rekke teorem i fra de mindre verkene.

Bok VII

Bok VII har vært mye studert i ettertiden, da den gir en oversikt over de viktigste greske matematiske verkene. Boka er karakterisert som den viktigste av de åtte bøkene. I det Pappos kaller Analysens skattkammer inkluderer han 33 bøker:

• Euklid: Data (1 bok)
• Apollonios: De Rationis Sectione («Avkutting av et forholdstall», 2 bøker)
• Apollonios: De Sectione Determinata («Om deling», 2 bøker)
• Apollonios: De Tactionibus («Om tangenter», 2 bøker)
• Euklid: Porismer (3 bøker)
• Apollonios: De Inclinationibus («Om helning», 2 bøker)
• Apollonios: De Locis Planis («Om plane loci», 2 bøker)
• Apollonios: Kjeglesnitt (8 bøker)
• Aristaios: Romlige loci (5 bøker)
• Euklid: Flate-loci (2 bøker)
• Eratosthenes: Om middelverdier (2 bøker)

Pappos gir en kort omtale av innholdet i utvalgte bøker, og også flere lemma knyttet til disse. Ikke nærmere omtalt er Aristaios' Romlige loci, Euklids Flate-loci og Eratosthenes' Om middelverdier.

I Bok VII gir også Pappos det såkalte Guldins teorem, uten bevis. Dette teoremet er nå oppkalt etter den sveitsiske matematikeren Paul Guldin og omhandler volum og overflateareal til et omdreiningslegeme. I samme bok introduseres også Pappos' teorem og teorien for pol og polare.

Bok VIII

Bok VIII behandler problemstillinger i mekanikk, blant annet knyttet til tyngdepunkt. Boka drøfter også noen problem i ren geometri, for eksempel konstruksjon av kjeglesnitt gjennom fem gitte punkt.

Utgaver av Samlinger

Den første latinske oversetting av Samlinger ble gitt ut av Federico Commandino (Commandinus) i Venezia i 1589. Fram til 1876 var adskilte deler av verket gitt ut på gresk, fransk og tysk, men en komplett utgivelse manglet. I 1876-8 ga Friedrich Hultch ut en fullstendig utgave, med gresk tekst, latinsk oversettelse, kommentarer og indeks. Indeksen har vært viktig, fordi utgaven med denne har kunnet fungere som en ordbok over matematiske begreper brukt både av Pappos og andre greske matematikere.

Andre verker

I tillegg til Samlinger er det kjent at Pappos skrev en rekke kommentarer til verk av tidligere matematikere, blant annet en kommentar til Euklids Elementer og Ptolemaios' Almagest. Bare fragmenter av disse verkene er bevart, noen på gresk, noen på arabisk.

Ifølge leksikonet Suda skrev også Pappos flere ikke-matematiske verk, men ingenting av disse er bevart:

• Beskrivelse av den bebodde verden
• Tolking av drømmer
• Om elvene i Libya

Litteratur

• C.B.Boyer (1968). A History of Mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3. 

• Thomas Heath (1981). A History of Greek Mathematics. I og II. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24073-8.