Residyteoremet

I kompleks analyse, er residyteoremet, noen ganger kalt Cauchys residysetning, et kraftig verktøy for å evaluere linjeintegraler av komplekse analytiske funksjoner over lukkede kurver; det kan også brukes til å beregne reelle integraler og uendelig serie. Teoremet generaliserer Cauchy integralteorem og Cauchys integrerte formel. Fra et geometrisk perspektiv kan det sees på som et spesielt tilfelle av generalisert stokes teorem.

Uttalelse

Erklæringen er som følger:

Illustrasjon av tilfellet.

La U være et enkelt lukket åpen mengde av de kompleks plan som inneholder en endelig liste over punktene a₁, ..., a_n, U₀ = U \ {a₁, …, a_n}, og en funksjon f som er definert og holomorf på U₀. La γ være en lukket korrigerbar kurve i U₀, og betegn viklingsnummeret av γ rundt a_k av I(γ, a_k). Linjeintegralet til f rundt γ er lik 2πi ganger summen av residyene av f på punktene som er tellt like mange ganger som γ vikler seg rundt punktet:

$$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).$$

Hvis γ er en positivt orientert enkel lukket kurve. I(γ, a_k) = 1 hvis a_k er på imsiden av γ, og 0 hvis ikke, derfor følger

$$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})$$

med summen over a_k inni γ.

Forholdet mellom restsetningen og Stokes teorem er gitt av Jordans curve theorem. Den generelle plan kurven γ må først reduseres til et sett med enkle lukkede kurver Mal:Mset hvis total tilsvarer γ for integrasjonsformål; dette reduserer problemet til å finne integralet av f dz langs en Jordan-kurve γ_i med i V på insiden. Kravet om at f skal være holomorf på U₀ = U \ Mal:Mset tilsvarer uttalelsen om at utvendige derivater d(f dz) = 0 på U₀. Dermed hvis to regioner av plan V og W av U omslutter samme delmengde Mal:Mset av Mal:Mset, vil regionene V \ W og W \ V ligger fullstendig innenfor U₀. Dermed følger det at

$$\int _{V\setminus W}d(f\,dz)-\int _{W\setminus V}d(f\,dz)$$

er veldefinert og lik null. Følgelig så er konturen integrert av f dz langs γ_j = ∂V er lik summen av et sett med integraler langs stier λ_j, hver omslutter en vilkårlig liten region rundt en enkelt a_j - rester av f (opp til den konvensjonelle faktoren 2πi) på Mal:Mset. Oppsummering over Mal:Mset, gjenoppretter vi det endelige uttrykket for konturintegralet når det gjelder svingete tall Mal:Mset.

For å evaluere reelle integraler brukes resedysetningen på følgende måte: integranden utvides til det komplekse planet og dets residyer blir beregnet (noe som vanligvis er enkelt), og en del av den virkelige aksen utvides til en lukket kurve ved å feste en halv sirkel i øvre eller nedre halvplan, og danner en halvsirkel. Integralet over denne kurven kan deretter beregnes ved hjelp av residyteoremet. Ofte vil halvsirkeldelen av integralet gå mot null ettersom radiusen til halvsirkelen vokser, og etterlater bare den reelle aksedelen av integralet, som vi opprinnelig var interessert i.

Konturen C.

Referanser

• Ahlfors, Lars. Complex Analysis. McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9. 
• Lindelöf, Ernst L. Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions (fransk). Editions Jacques Gabay. ISBN 2-87647-060-8. 
• Mitrinović, Dragoslav; Kečkić, Jovan. The Cauchy method of residues: Theory and applications. D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-1623-4. 
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. A Course of Modern Analysis (3rd utg.). Cambridge University Press. 

Eksterne lenker

•  «Cauchy integral theorem», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Cauchy_integral_theorem 
• Residue theorem in MathWorld