Elementær funksjon

En elementær funksjon er en matematisk funksjon av en enkelt variabel, laget ved algebraiske kombinasjoner av en liten gruppe grunnfunksjoner: rasjonale funksjoner, eksponetialfunksjoner, logaritmefunksjoner, trigonometriske funksjoner og den generelle potensfunksjonen.

Grunnfunksjonene kan settes sammen ved et endelig antall aritmetiske operasjoner addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. I tillegg regner også sammensatte funksjoner av elementære funksjoner som elementære. Noen definisjoner utvider klassen ved også å inkludere alle inverse funksjoner av elementære funksjoner som elementære.

Elementære funksjoner kan være definert for en reell variabel eller for et komplekst argument.

Elementære grunnfunksjoner

Til de elementære grunnfunksjonene av en reell eller kompleks variabel regnes

• De rasjonale funksjonene, inkludert polynomfunksjonene
• Eksponentialfunksjonen
• Logaritmefunksjonen
• Trigonometriske funksjoner, inkludert arcus-funksjonene
• Den generelle potensfunksjonen

Polynomfunksjoner

Polynomfunksjoner

Polynomfunksjoner av en variabel er funksjoner på formen

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$

hvor $a_{i}$ er konstanter, og $n$ er graden til polynomet, forutsatt at $a_{n}$ er ulik null. Polynomfunksjoner er kontinuerlige, glatte og hele.

Rasjonale funksjoner

En rasjonal funksjon er en funksjon definert som forholdet mellom to polynomfunksjoner:

$f(x)={P(x) \over Q(x)}$

Her er $P$ og $Q$ polynomfunksjoner. Definisjonsmengden til en rasjonal funksjon er alle reelle eller komplekse verdier av $x$ som ikke gjør nevneren $Q(x)$ lik null.

Siden en konstant i nevneren også er et polynom, regnes polynomfunksjonene som en delmengde av de rasjonale funksjonene.

Eksponentialfunksjonen

Eksponentialfunksjoner

Eksponentialfunksjonen med grunntall $b$ er en funksjon på formen

$f(x)=ab^{x}$

der $b$ er et positivt reelt tall.

Grunnformen for denne typen funksjoner er definert med grunntallet e = 2,718...

$f(x)=e^{x}$

Funksjonen er vanligvis formelt definert som en uendelig potensrekke:

$e^{x}=\sum _{i=0}^{\infty }{x^{i} \over i!}=1+x+{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 6}+{x^{4} \over 24}+\cdots$

Logaritmefunksjoner

Logaritmefunksjon

Logaritmefunksjonen med grunntall kan defineres som den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen:

$y=\log _{b}x\ \iff \ x=b^{y}$

Spesielt viktig er funksjonen med grunntall $e$:

$y=\log _{e}x=\ln x$

Trigonometriske funksjoner

De trigonometriske funksjonene er funksjoner som kan uttrykkes som et forhold mellom sidene i en rettvinklet trekant, når en vinkel i trekanten brukes som funksjonsargument. Grunnleggende funksjoner er sinus, cosinus og tangens. De inverse funksjonene betegnes med arcus sinus, arcus cosinus og arcus tangens.

Potensfunksjoner

Den generelle potensfunksjonen har formen

$f(x)=x^{c}$

der $c$ er en konstant. Funksjonen kan uttrykkes ved hjelp av logaritmer, som

$x^{c}=e^{c\ln x}$

Eksempler på elementære funksjoner

Til de elementære funksjonene hører

• Konstante funksjoner, som $f(x)=2$
• Funksjoner sammensatt av potens- og rot-uttrykk, som $f(x)=2x^{3 \over 2}+{\sqrt[{4}]{x}}$
• Hyperbolske funksjoner, som $f(x)=\sinh x$
• Inverse hyperbolske funksjoner, som $f(x)=\operatorname {arccosh} x$
• Sammensetninger som

${\begin{alignedat}{2}f(x)&={e^{\tan x} \over {x^{2}+1}}\\g(x)&=-i\ln(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})\end{alignedat}}$

Den siste funksjonen er lik $\arccos x$ i hele det komplekse planet.

Som et eksempel på en funksjon som ikke er elementær kan nevnes gammafunksjonen:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt$

Egenskaper til elementære funksjoner

Ved ikke å inkludere generelle inverse funksjoner oppnår en direkte fra definisjonen at mengden av elementære funksjoner er lukket under de aritmetiske operasjonene, samt sammensetning.