Levi-Civita-symbol

Levi-Civita-symbolet er et matematisk objekt som ofte opptrer i sammenheng med determinanter og antisymmetriske tensorer. Det omtales også som permutasjonssymbolet og angir fortegnet til en permutasjon av de naturlige tallene 1,2,3, ..., N. For hver verdi av N finnes et slikt symbol. Navnet er forbundet med den italienske matematiker Tullio Levi-Civita som var en av grunnleggerne av tensoranalysen.

Definisjon

Levi-Civita-symbolet kan defineres som en tensor ε av rang n som er antisymmetrisk i alle sine indekser. Dets komponenter kan derfor skrives som ε_{i1i2 ... in} og oppfyller betingelsen

$\varepsilon _{\dots i_{p}\dots i_{q}\dots }=-\varepsilon _{\dots i_{q}\dots i_{p}\dots }$

for hvert ombytte av to vilkårlige indekser. Hvis to eller flere av dem er like, har derfor symbolet verdien null. Antall komponenter som er forskjellig fra null, vil da være n!. De kan alle finnes fra

$\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}=(-1)^{p}\varepsilon _{12\dots n}$

hvor p kalles «pariteten» til permutasjonen av indeksene og (−1)^p er dens fortegn. Den absolutte verdien av symbolet er dermed gitt ved ε_12…n som vanligvis velges å ha verdien +1. Med dette valget vil

$\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}=n!$

når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over alle par med like indekser.

Determinanter

En determinant er antisymmetrisk i ethvert ombytte av to rader eller to kolonner. Determinanten til en n × n matrise A med elementer A_ij kan derfor skrives på en kompakt form ved bruk av Levi-Civita-symbolet. Da er den gitt som

$\det(A)=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}A_{1i_{1}}\dots A_{ni_{n}}$

eller kan finnes fra den ekvivalente formen

$\det(A)={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}A_{i_{1}j_{1}}\dots A_{i_{n}j_{n}},$

når man igjen summerer over alle par med like indekser.

Anvendelser

Betegnelsen «det n-dimensjonale Levi-Civita-symbolet» refererer til antall indekser som symbolet har. Den definerer samtidig dimensjonen til vektorromet eller mangfoldigheten hvor symbolet benyttes. Dets detaljerte egenskaper avhenger av denne dimensjonen.

To dimensjoner

Når antall dimensjoner er n = 2, har symbolet bare to komponenter ε₁₂ = 1 og ε₂₁ = -1 som er forskjellig fra null. Det kan derfor representeres ved matrisen

$\varepsilon ={\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

Komponentene oppfyller nå den viktige likheten

$\varepsilon _{ij}\varepsilon _{mn}=\delta _{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm}$

hvor Kronecker-symbolet δ_ij opptrer på høyre side. Den får bare bidrag når i ≠ j and m ≠ n og må være antisymmetrisk i disse to indeksparene. Setter man m = i, blir dermed ε_ij ε_in = δ_jn. Dermed er ε_ij ε_ij = δ_jj = 2 som forventet i n = 2 dimensjoner.

Resultatet for produktet av to Levi-Civita-symbol kan skrives på den ekvivalente formen

$\varepsilon _{ij}\varepsilon _{mn}=\left|{\begin{array}{cc}\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jm}&\delta _{jn}\end{array}}\right|$

På denne formen kan resultatet generaliseres til å gjelde for et vilkårlig antall indekser.

Levi-Civita-symbolet i to dimensjoner benyttes spesielt i forbindelse med Weyl-spinorer som har to komponenter. De spiller en fundamental rolle i moderne teorier med supersymmetri. Tidligere ble slike spinorer benyttet til å beskrive masseløse nøytrinoer.

Tre dimensjoner

Verdien ε = +1 til Levi-Civita-symbolet i tre dimensjoner er angitt ved      når indeksene opptrer som en positiv permutasjon av (1, 2, 3). Den motsatte verdien ε = −1 er angitt ved      og opptrer for negative permutasjoner.

Med tre indekser har symbolet 3! = 6 komponenter som er forskjellig fra null. De kan alle finnes fra ε₁₂₃ = 1. Ved ombytte av indekser finner man da ε₂₁₃ = -1 og ε₂₃₁ = 1. De tre like komponentene ε₁₂₃ = ε₂₃₁ = ε₃₁₂ = 1 fremkommer ved syklisk ombytte av indeksene (1,2,3) i positiv retning, mens de tre odde komponentene ε₁₃₂ = ε₃₂₁ = ε₂₁₃ = -1 finnes ved det tilsvarende ombytte i motsatt retning.

Levi-Civita-symbolet i tre dimensjoner kan brukes til å forenkle mange beregninger i vektoranalysen. Kryssproduktet av to vektorer u = (u₁, u₂, u₃) og v = (v₁, v₂, v₃) er antisymmetrisk og kan nå skrives på den kompakte formen

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}u_{i}v_{j}\mathbf {e} _{k}=(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {e} _{1}+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\mathbf {e} _{2}+(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {e} _{3}$

ved bruk av Einsteins summekonvensjon. Det skalare trippelproduktet mellom tre vektorer u, v and w blir dermed

$\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {w} =\varepsilon _{ijk}u_{i}v_{j}w_{k}={\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\\\end{vmatrix}}$

Mer kompliserte vektorprodukt kan forenkles ved å bruke at

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}$

$\varepsilon _{jmn}\varepsilon _{imn}=2\delta _{ij}$

som følger fra det generelle produktet

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\left|{\begin{array}{ccc}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\end{array}}\right|$

For eksempel, det vektorielle trippelproduktet reduseres til

${\begin{aligned}\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )&=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}u_{j}(\mathbf {v} \times \mathbf {w} )_{k}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}u_{j}\varepsilon _{kmn}v_{m}w_{n}\\&=\mathbf {e} _{i}(\delta _{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm})u_{j}v_{m}w_{n}=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} \end{aligned}}$

Resultatet er antisymmetrisk i vektorene v og w som det skal være.

På samme måte finner man for vektorproduktet av fire vektorer,

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}a_{j}b_{k}\cdot \varepsilon _{lmn}\mathbf {e} _{l}c_{m}d_{n}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )$

når man benytter at e_i⋅e_l = δ_il  og summerer over alle like par med indekser. Tilsvarende forenklinger kan gjøres i vektoranalysen som involverer nabla-operatoren.

Fire dimensjoner

I et firedimensjonalt, euklidsk rom har Levi-Civita-symbolet 4! = 24 komponenter som ikke er null. De kan alle bestemmes fra konvensjonen ε₁₂₃₄ = 1. Men i dette tilfellet er ikke verdien uforandret under syklisk ombytte. For eksempel blir ε₄₃₂₁ = - ε₃₂₁₄ = - ε₂₁₃₄ = ε₁₂₃₄ = 1, mens ε₄₁₂₃ = - ε₁₂₃₄ = - 1.

Symbolet benyttes også i relativistisk fysikk som finner sted i et firedimensjonalt Minkowski-rom med koordinater x^μ = (ct,x,y,z) hvor c er lyshastigheten og en diagonal metrikk med komponentene η₀₀ = +1 og η₁₁ = η₂₂ = η₃₃ = - 1. Sammen med de kontravariante komponentene η^μν = (1, -1, -1, -1) kan den benyttes til å heve og senke indekser. Hvis man i dette Minkowski-rommet nå definerer ε₀₁₂₃ = + 1, vil dette Levi-Civitas-symbolet ha de kontravariante komponentene

$\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }=\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }\eta ^{\rho \gamma }\eta ^{\sigma \delta }\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }$

som gir ε⁰¹²³ = - 1 og på samme måte for alle andre komponenter med hevete indekser.

Herav kan man så utlede nyttige identiteter mellom produkter av symbolet. Av størst viktighet er

$\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\varepsilon _{\;\;\alpha \beta }^{\mu \nu }=-2(\eta _{\rho \alpha }\eta _{\sigma \beta }-\eta _{\rho \beta }\eta _{\sigma \alpha })$

som ved kontraksjon mellom indeksene α og ρ gir

$\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\varepsilon _{\;\;\;\;\beta }^{\mu \nu \rho }=-6\eta _{\sigma \beta }$

En videre kontraksjon mellom σ og β gir da som forventet

$\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }=-24=-4!$

da $\eta _{\;\sigma }^{\sigma }=4$ i fire dimensjoner.

Dette Levi-Civita-symbolet opptrer også i relativistisk kvantemekanikk når man foretar beregninger som involverer Dirac-matrisene $\gamma ^{\mu }$ og

$\gamma _{5}={\frac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$.

Når man regner ut trasen (eller «sporet») til et produkt av slike matriser, kan man da benytte at

${\mbox{Tr}}(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{5})=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$

Slike utregninger opptrer spesielt når partiklene som Dirac-ligningen beskriver, har retning på spinnet som er kjent eller skal måles.

Levi-Civita-tensor

Determinanten til en N × N matrise A = (A_ij) kan uttrykkes ved hjelp av Levi-Civita symbolet. Det betyr at man i alminnelighet har

$\varepsilon _{m_{1}m_{2}\dots m_{N}}A_{m_{1}n_{1}}A_{m_{2}n_{2}}\dots A_{m_{N}n_{N}}=\det(A)\varepsilon _{n_{1}n_{2}\dots n_{N}}$

Hvis man i et N-dimensjonalt euklidsk rom med kartesiske koordinater x^m  innfører krumlinjete koordinater ved koordinattransformasjonen x^m = x^m(x^μ ), er elementene til transformasjonsmatrisen A

$A_{\;\;\mu }^{m}={\partial x^{m} \over \partial x^{\mu }}$

Levi-Civita-symbolet i dette mer mer generelle koordinatsystemet vil da måtte oppfylle ligningen

$\varepsilon _{m_{1}m_{2}\dots m_{N}}{\partial x^{m_{1}} \over \partial x^{\mu _{1}}}{\partial x^{m_{2}} \over \partial x^{\mu _{2}}}\dots {\partial x^{m_{N}} \over \partial x^{\mu _{N}}}=\det(A)\varepsilon _{\mu _{1}\mu _{2}\dots \mu _{N}}$

Den viser at det transformerer som en fullstendig antisymmetrisk tensor av rang N under et slikt skifte av koordinater når man ser bort fra determinanten det(A) til transformasjonsmatrisen. Men den kan beregnes fra den nye metrikken

$g_{\mu \nu }={\partial x^{m} \over \partial x^{\mu }}{\partial x^{n} \over \partial x^{\nu }}g_{mn}$

hvor metrikken i det kartesiske koordinatsystemet er gitt ved Kronecker-delta som g_mn = δ_mn. Herav følger derfor at determinanten g = det(g_μν)  er gitt som kvadratet av det(A). Definerer man derfor størrelsen

$e_{\mu _{1}\mu _{2}\dots \mu _{N}}={\sqrt {g}}\,\varepsilon _{\mu _{1}\mu _{2}\dots \mu _{N}},$

vil den transformere som en vanlig tensor. Dette er Levi-Civita-tensoren som er fullstendig antisymmetrisk i alle indeksene og med den spesielle verdien

$e_{12\dots N}={\sqrt {g}}$

i et generelt koordinatsystem hvor g er determinanten til metrikken for disse koordinatene.

Volumformen

Fra disse antisymmetriske tensorkomponentene kan man konstruere en differensiell N-form

$\mathbf {e} ={1 \over N!}e_{\mu _{1}\mu _{2}\dots \mu _{N}}\mathbf {d} x^{\mu _{1}}\wedge \mathbf {d} x^{\mu _{2}}\wedge \dots \wedge \mathbf {d} x^{\mu _{N}}={\sqrt {g}}\,\mathbf {d} x^{1}\wedge \mathbf {d} x^{2}\wedge \dots \wedge \mathbf {d} x^{N}$

som ofte blir omtalt som volumformen. Det kan man se når man for eksempel benytter kulekoordinater i tre dimensjoner

$x=r\sin \theta \,\cos \phi$

$y=r\sin \theta \,\sin \phi$

$z=r\cos \theta$

Da blir denne 3-formen

$\mathbf {e} =\mathbf {d} x\wedge \mathbf {d} y\wedge \mathbf {d} z=r^{2}\sin \theta \,\mathbf {d} r\wedge \mathbf {d} \theta \wedge \mathbf {d} \phi$

og har størrelsen dV = r² sinθ dr dθ dφ  som er det vanlige volumelementet i dette koordinatsystemet.